Ma trận đơn vị

Nếu các mục trên đường chéo chính của ma trận tam giác (trên hoặc dưới) đều là 1, thì ma trận được gọi là đơn vị (trên hoặc dưới) đơn vị. Tất cả các ma trận unitriangular là unipotent. Các tên khác sử dụng cho các ma trận là đơn vị (trên hoặc giảm) hình tam giác (trong đó "unitriangular" có thể là một sự co), hoặc rất hiếm khi định chuẩn (trên hoặc giảm) hình tam giác. Tuy nhiên, một ma trận đơn vị tam giác không giống như ma trận đơn vị, và một ma trận tam giác định chuẩn không có gì để làm với các khái niệm về chuẩn mực ma trận. Ma trận danh tính là ma trận duy nhất có cả đơn vị trên và dưới.

Tập hợp các ma trận đơn vị tạo thành một nhóm Lie.

Ma trận tam giác nghiêm ngặt

Nếu tất cả các mục trên đường chéo chính của ma trận tam giác (trên hoặc dưới) bằng 0, ma trận được gọi là tam giác nghiêm ngặt (trên hoặc dưới). Tất cả các ma trận tam giác nghiêm ngặt đều là nilpotent, và tập hợp các ma trận tam giác nghiêm ngặt trên (hoặc dưới) tạo thành một đại số Lie nilpotent, ký hiệu là n . {\displaystyle {\mathfrak {n}}.} Đại số này là đại số Lie có nguồn gốc của b {\displaystyle {\mathfrak {b}}} , đại số Lie của tất cả các ma trận tam giác trên; trong các biểu tượng, n = [ b , b ] . {\displaystyle {\mathfrak {n}}=[{\mathfrak {b}},{\mathfrak {b}}].} Ngoài ra, n {\displaystyle {\mathfrak {n}}} là đại số Lie của nhóm Lie của ma trận đơn vị.

Trong thực tế, theo định lý của Engel, bất kỳ đại số Lie nilpotent hữu hạn chiều nào cũng được liên hợp với một chuỗi con của các ma trận tam giác trên nghiêm ngặt, nghĩa là, một đại số Lie nilpotent hữu hạn chiều đồng thời là tam giác vuông.

Ma trận tam giác nguyên tử

Ma trận tam giác nguyên tử (trên hoặc dưới) là một dạng ma trận đơn vị đặc biệt, trong đó tất cả các phần tử nằm ngoài đường chéo đều bằng 0, ngoại trừ các mục trong một cột. Một ma trận như vậy cũng được gọi là ma trận Frobenius, ma trận Gauss hoặc ma trận biến đổi Gauss. Vì vậy, một ma trận tam giác dưới nguyên tử có dạng

L i = [ 1 0 0 ⋱ 0 ⋱ 1 0 ⋱ 0 1 0 ℓ i + 1 , i 1 ⋮ 0 ℓ i + 2 , i 0 ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ 1 0 … 0 ℓ n , i 0 … 0 1 ] . {\displaystyle \mathbf {L} _{i}={\begin{bmatrix}1&&&&&&&0\\0&\ddots &&&&&&\\0&\ddots &1&&&&&\\0&\ddots &0&1&&&&\\&&0&\ell _{i+1,i}&1&&&\\\vdots &&0&\ell _{i+2,i}&0&\ddots &&\\&&\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &1&\\0&\dots &0&\ell _{n,i}&0&\dots &0&1\\\end{bmatrix}}.}

Nghịch đảo của một ma trận tam giác nguyên tử lại là tam giác nguyên tử. Thật vậy, chúng ta có

L i − 1 = [ 1 0 0 ⋱ 0 ⋱ 1 0 ⋱ 0 1 0 − ℓ i + 1 , i 1 ⋮ 0 − ℓ i + 2 , i 0 ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ 1 0 … 0 − ℓ n , i 0 … 0 1 ] , {\displaystyle \mathbf {L} _{i}^{-1}={\begin{bmatrix}1&&&&&&&0\\0&\ddots &&&&&&\\0&\ddots &1&&&&&\\0&\ddots &0&1&&&&\\&&0&-\ell _{i+1,i}&1&&&\\\vdots &&0&-\ell _{i+2,i}&0&\ddots &&\\&&\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &1&\\0&\dots &0&-\ell _{n,i}&0&\dots &0&1\\\end{bmatrix}},}

tức là, các mục ngoài đường chéo được thay thế trong ma trận nghịch đảo bằng các nghịch đảo cộng gộp của chúng.

Ví dụ

[ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 4 1 0 0 2 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&4&1&0\\0&2&0&1\\\end{bmatrix}}}

là nguyên tử tam giác dưới. Nghịch đảo của nó là

[ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 − 4 1 0 0 − 2 0 1 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&-4&1&0\\0&-2&0&1\\\end{bmatrix}}.}